Capitalización continua

La capitalización continua es una fórmula que ayuda a calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad, añadiendo los intereses que se van acumulando. Por tanto, los intereses que se ganan en un periodo se suman a la cantidad inicial y se vuelven a invertir en el siguiente periodo, capitalizando nuevos intereses y así sucesivamente.

La capitalización continua se considera un tipo de capitalización compuesta.^[1]​ Si se tiene una tasa nominal constante y la capitalización es más frecuente, el monto compuesto (capital intereses) aumenta. Esto quiere decir que cuanto más rápido es la capitalización de los intereses, mayor será el monto esperado. La periodicidad instantánea sería cuando «m» tiende a infinito. Si «m» tiende a infinito, también «v».^[2]​

Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son: ${\displaystyle M\ =\,C\left({1 {\frac {i}{m}}}\right)^{mt}}$

${\displaystyle v\ =\ {\frac {m}{i}}}$

${\displaystyle M\,=\,C\left[\left(1 {\frac {1}{v}}\right)^{v}\,\right]^{it}}$

${\displaystyle \lim _{v\to \,\infty }\,C\left[\left(1 {\frac {1}{v}}\right)^{v}\,\right]^{it}\ =\,Ce^{it}}$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• ${\displaystyle i}$ = Tasa Efectiva
• ${\displaystyle m}$ = Periodicidad
• ${\displaystyle t}$ = Tiempo

Por lo tanto, simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:

${\displaystyle M\ =\,Ce^{it}}$

${\displaystyle C\,={\frac {M}{e^{it}}}=M\ e^{-it}}$

La nomenclatura se respeta siendo la misma de arriba.

Ejemplos

Calcular el valor futuro de una inversión por 100 000 USD que se capitaliza instantáneamente a una tasa del 25 % anual por 3 años.

${\displaystyle M={100,000}\,e^{0.25(3)}}$

${\displaystyle M={211,700}}$

Un pagaré de 1000 dólares vence dentro de un mes. Calcula el valor presente al 9 % compuesto continuamente:

${\displaystyle C\,={\frac {1,000}{e\,^{0.09(1/12)}}}}$

${\displaystyle C={992.52}}$

Convertibilidad de tasas de la capitalización continua

Para poder convertir una tasa nominal de capitalización continua a una tasa efectiva, se emplean las siguientes fórmulas:^[2]​

${\displaystyle M\ =\,Ce^{j}}$

${\displaystyle M\ =\,C(1 i)}$

${\displaystyle \Rightarrow Ce^{j}=C(1 i)}$

${\displaystyle \Rightarrow e^{j}=(1 i)}$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• ${\displaystyle j}$ = Tasa Nominal Capitalizable Continuamente
• ${\displaystyle i}$ = Tasa Efectiva

Ejemplo

Calcular la tasa de capitalización continua equivalente a una tasa efectiva del 19,72 %.

${\displaystyle e^{j}=(1 0.1972)}$

${\displaystyle \ln e^{j}=\ln(1 0.1972)}$

${\displaystyle j=\ln(1.1972)}$

${\displaystyle j=18\%}$

Véase también

• Capitalización simple
• Capitalización compuesta
• Valor tiempo del dinero

Referencias